Число $x$ называют дизъюнктивным по основанию $b$, если в его записи в системе счисления с основанием $b$ встречаются все возможные блоки цифр любого фиксированного размера.

Проще: любая последовательность цифр длины $n$ встречается где-то в записи числа.

Свойства

1. Счётная плотность:
   Дизъюнктивные числа встречаются «очень часто» среди вещественных чисел, мера множества таких чисел равна 1.
2. Связь с нормальными числами:
   Каждое нормальное число в основании $b$ — дизъюнктивно.
   • Нормальное число: цифры распределены равномерно, каждая последовательность цифр встречается с вероятностью $b^{-n}$.
3. Примеры и контрпримеры:
   • Пример: Champernowne число $0.123456789101112\dots$ в 10-ричной системе — дизъюнктивное.
   • Не дизъюнктивное: $0.111111\dots$ — все цифры одинаковые.
   • Число $\pi$ — пока не известно, дизъюнктивно оно или нет. Мы не доказали, что каждая комбинация цифр встречается.

Применение

• Теория информации: генерация псевдослучайных чисел.
• Компьютерная математика: проверка распределения цифр, случайность последовательностей.
• Комбинаторика: задачи на покрытие всех возможных комбинаций цифр.

Ключевые моменты

• Дизъюнктивность — про встречаемость всех возможных блоков цифр.
• Вещественные числа почти все дизъюнктивны.
• Любое нормальное число дизъюнктивно.
• Примеры простые: Champernowne число $0.123456789101112\dots$.
• Число $\pi$ — не доказано, дизъюнктивно оно или нет.