Определение

Число \(x\) называют дизъюнктивным по основанию \(b\), если в его записи в системе счисления с основанием \(b\) встречаются все возможные блоки цифр любого фиксированного размера.

Проще: любая последовательность цифр длины \(n\) встречается где-то в записи числа.

Свойства

1. Счётная плотность:
   Дизъюнктивные числа встречаются «очень часто» среди вещественных чисел, мера множества таких чисел равна 1.
2. Связь с нормальными числами:
   Каждое нормальное число в основании \(b\) — дизъюнктивно.
   • Нормальное число: цифры распределены равномерно, каждая последовательность цифр встречается с вероятностью \(b^{-n}\).
3. Примеры и контрпримеры:
   • Пример: Champernowne число \(0.123456789101112\dots\) в 10-ричной системе — дизъюнктивное.
   • Не дизъюнктивное: \(0.111111\dots\) — все цифры одинаковые.
   • Число \(\pi\) — пока не известно, дизъюнктивно оно или нет. Мы не доказали, что каждая комбинация цифр встречается.

Применение

• Теория информации: генерация псевдослучайных чисел.
• Компьютерная математика: проверка распределения цифр, случайность последовательностей.
• Комбинаторика: задачи на покрытие всех возможных комбинаций цифр.

Ключевые моменты

• Дизъюнктивность — про встречаемость всех возможных блоков цифр.
• Вещественные числа почти все дизъюнктивны.
• Любое нормальное число дизъюнктивно.
• Примеры простые: Champernowne число \(0.123456789101112\dots\).
• Число \(\pi\) — не доказано, дизъюнктивно оно или нет.