Шпаргалки / Физика / Механика

03. Равномерное и равноускоренное движение

Равномерное и равноускоренное движение

Уровень: база

Равномерное прямолинейное движение

Скорость постоянна как вектор:

\[ \vec v=\text{const}. \]

Следовательно,

\[ \vec a=0. \]

В одном измерении:

\[ x=x_0+vt. \]

График \(x(t)\) — прямая, её наклон равен \(v\).

Равноускоренное движение

Ускорение постоянно:

\[ \vec a=\text{const}. \]

В одном измерении:

\[ v=v_0+at, \]
\[ x=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}, \]
\[ v^2=v_0^2+2a(x-x_0), \]
\[ \Delta x=\frac{v_0+v}{2}t. \]

Последняя формула следует из линейного изменения скорости.

Откуда берутся формулы

Из определения ускорения:

\[ a=\frac{dv}{dt}. \]

При постоянном \(a\):

\[ dv=a\,dt. \]

Интегрируя:

\[ v-v_0=at. \]

Далее

\[ \frac{dx}{dt}=v_0+at, \]

и

\[ x-x_0=v_0t+\frac{at^2}{2}. \]

Свободное падение

Вблизи поверхности Земли без сопротивления воздуха:

\[ \vec a=\vec g. \]

Все тела имеют одинаковое ускорение независимо от массы.

Если ось направлена вверх:

\[ y=y_0+v_0t-\frac{gt^2}{2}, \]
\[ v_y=v_0-gt. \]

Если ось вниз — знак \(g\) положительный.

Разобранный пример 1. Разгон

Тело стартует из покоя с \(a=3\) м/с². Найти скорость и путь за \(4\) с.

\[ v=0+3\cdot4=12\ \text{м/с}. \]
\[ s=\frac{3\cdot4^2}{2}=24\ \text{м}. \]

Пример 2. Торможение

Автомобиль имеет \(v_0=20\) м/с и \(a=-4\) м/с².

До остановки:

\[ 0=20-4t, \]
\[ t=5\ \text{с}. \]
\[ 0=20^2+2(-4)s, \]
\[ s=50\ \text{м}. \]

Пример 3. Бросок вверх

Мяч брошен вверх со скоростью \(20\) м/с, \(g=10\) м/с².

В верхней точке:

\[ v=0. \]
\[ t_{\text{под}}=\frac{v_0}{g}=2\ \text{с}. \]

Высота:

\[ h=\frac{v_0^2}{2g}=20\ \text{м}. \]

Если приземление на той же высоте и сопротивления нет, полное время \(4\) с.

Время реакции и тормозной путь

Полный остановочный путь:

\[ d_{\text{ост}}=vt_r+\frac{v^2}{2a_b}, \]

где \(t_r\) — время реакции, \(a_b\) — модуль тормозного ускорения.

Тормозной путь растёт как квадрат скорости.

Границы применимости

Формулы применимы только при постоянном ускорении. Для переменного ускорения нужны интегралы или численное решение.

Ошибки

  • Подставлять \(g\) всегда со знаком плюс, не выбрав ось.
  • Использовать формулу равноускоренного движения при переменном ускорении.
  • Получать отрицательное время и не анализировать физический смысл.
  • Путать путь и перемещение при смене направления.

Самопроверка

  1. Тело падает \(3\) с из покоя при \(g=10\). Найти скорость и путь.
  2. Как меняется тормозной путь при удвоении скорости при том же торможении?
  3. В верхней точке броска вверх чему равны скорость и ускорение?
Ответы 1. \(30\) м/с и \(45\) м. 2. Увеличивается в 4 раза. 3. \(v=0\), ускорение \(g\) направлено вниз.