Исследование функции
Интервалы возрастания и убывания
- \(f'(x) > 0\) → функция возрастает
- \(f'(x) < 0\) → функция убывает
Критические точки
В критических точках скорость изменения функции (производная) либо равна нулю, либо не существует.
Определение
- Точка \(x_0\) называется критической, если
\[
f'(x_0) = 0 \quad \text{или } f'(x_0) \text{ не существует}
\]
- В критических точках может быть максимум, минимум или точка перегиба.
Как находить критические точки
- Найти первую производную \(f′(x)\).
- Решить уравнение \(f′(x)=0\)’.
- Добавить точки, где производная не существует, но функция определена.
- Эти точки — кандидаты на экстремум или перегиб.
Экстремумы
- Локальный максимум: \(f'(x_0)=0\) и \(f''(x_0)<0\)
- Локальный минимум: \(f'(x_0)=0\) и \(f''(x_0)>0\)
Точки перегиба
- Точка \(x_0\), где функция меняет выпуклость:
\[
f''(x_0)=0 \quad \text{и знак } f''(x) \text{ меняется около } x_0
\]
Асимптоты
Вертикальная асимптота
- Прямая \(x=a\) такая, что \(f(x) \to \infty\) или \(f(x) \to -\infty\) при \(x \to a\).
- Обычно там деление на ноль.
Пример:
\[
f(x) = \frac{1}{x-2} \implies x=2 \text{ вертикальная асимптота}
\]
Горизонтальная асимптота
- Прямая \(y=L\), такая что
\[
\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L
\]
Пример:
\[
f(x) = \frac{2x+1}{x} \implies \lim_{x\to\infty} f(x)=2 \implies y=2 \text{ горизонтальная асимптота}
\]
Наклонная (косая) асимптота
- Прямая \(y=kx+b\), такая что
\[
k = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x}, \quad b = \lim_{x\to\infty} (f(x)-kx)
\]
Пример:
\[
f(x) = \frac{3x^2 + 2}{x} \implies k = \lim_{x\to\infty} \frac{3x^2+2}{x} = \infty \text{ (нет наклонной асимптоты)}
\]
Для линейных отношений типа \(f(x) = \frac{2x^2+3}{x} \implies y \sim 2x\) — наклонная есть.