Исследование функции
- $f’(x) > 0$ → функция возрастает
- $f’(x) < 0$ → функция убывает
Критические точки
В критических точках скорость изменения функции (производная) либо равна нулю, либо не существует.
Определение
- Точка $x_0$ называется критической, если
\[
f'(x_0) = 0 \quad \text{или } f'(x_0) \text{ не существует}
\]
- В критических точках может быть максимум, минимум или точка перегиба.
Как находить критические точки
- Найти первую производную $f′(x)$.
- Решить уравнение $f′(x)=0$’.
- Добавить точки, где производная не существует, но функция определена.
- Эти точки — кандидаты на экстремум или перегиб.
Экстремумы
- Локальный максимум: $f’(x_0)=0$ и $f’‘(x_0)<0$
- Локальный минимум: $f’(x_0)=0$ и $f’‘(x_0)>0$
Точки перегиба
- Точка $x_0$, где функция меняет выпуклость:
\[
f''(x_0)=0 \quad \text{и знак } f''(x) \text{ меняется около } x_0
\]
Асимптоты
Вертикальная асимптота
- Прямая $x=a$ такая, что $f(x) \to \infty$ или $f(x) \to -\infty$ при $x \to a$.
- Обычно там деление на ноль.
Пример:
\[
f(x) = \frac{1}{x-2} \implies x=2 \text{ вертикальная асимптота}
\]
Горизонтальная асимптота
- Прямая $y=L$, такая что
\[
\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L
\]
Пример:
\[
f(x) = \frac{2x+1}{x} \implies \lim_{x\to\infty} f(x)=2 \implies y=2 \text{ горизонтальная асимптота}
\]
Наклонная (косая) асимптота
- Прямая $y=kx+b$, такая что
\[
k = \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x}, \quad b = \lim_{x\to\infty} (f(x)-kx)
\]
Пример:
\[
f(x) = \frac{3x^2 + 2}{x} \implies k = \lim_{x\to\infty} \frac{3x^2+2}{x} = \infty \text{ (нет наклонной асимптоты)}
\]
Для линейных отношений типа $f(x) = \frac{2x^2+3}{x} \implies y \sim 2x$ — наклонная есть.