Шпаргалки / Физика / Механика

10. Трение, наклонная плоскость и связанные тела

Трение, наклонная плоскость и связанные тела

Уровень: база → первый курс

Природа трения

Трение возникает из-за микронеровностей, адгезии и электромагнитного взаимодействия поверхностей.

Трение покоя

Трение покоя подстраивается под требуемое значение:

\[ 0\le F_{\text{тр.пок}}\le\mu_sN. \]

Оно не обязано быть равно \(\mu_sN\). Равенство выполняется на грани скольжения.

Трение скольжения

Упрощённая модель:

\[ F_{\text{тр.ск}}=\mu_kN. \]

Обычно \(\mu_k<\mu_s\).

Направление трения

Трение противодействует относительному движению или его тенденции в контакте.

Оно не всегда направлено против скорости центра масс. При разгоне автомобиля трение со стороны дороги направляет ведущие колёса и автомобиль вперёд.

Наклонная плоскость

Разложение тяжести:

\[ mg\sin\alpha \]

вдоль вниз по плоскости и

\[ mg\cos\alpha \]

перпендикулярно.

Без других нормальных сил:

\[ N=mg\cos\alpha. \]

Условие покоя

Чтобы брусок не скользил:

\[ mg\sin\alpha\le\mu_smg\cos\alpha. \]
\[ \tan\alpha\le\mu_s. \]

Угол начала скольжения:

\[ \tan\alpha_c=\mu_s. \]

Скользящий брусок

Вниз по плоскости:

\[ ma=mg\sin\alpha-\mu_kmg\cos\alpha. \]
\[ a=g(\sin\alpha-\mu_k\cos\alpha). \]

Масса сокращается.

Связанные тела

Если идеальная нить нерастяжима, связанные тела имеют одинаковые по модулю ускорения вдоль нити.

Два тела на гладком столе

\(m_1\) и \(m_2\) тянут силой \(F\):

\[ a=\frac{F}{m_1+m_2}. \]

Если сила приложена к \(m_2\):

\[ T=m_1a. \]

Машина Атвуда

Два груза \(m_2>m_1\):

\[ m_2g-T=m_2a, \]
\[ T-m_1g=m_1a. \]

Складывая:

\[ a=g\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}. \]

Натяжение:

\[ T=\frac{2m_1m_2}{m_1+m_2}g. \]

Пример 1. Брусок с трением

\(m=5\) кг, \(F=30\) Н, \(\mu_k=0{,}2\), \(g=10\).

\[ N=mg=50\ \text{Н}. \]
\[ F_{\text{тр}}=10\ \text{Н}. \]
\[ a=\frac{30-10}{5}=4\ \text{м/с}^2. \]

Пример 2. Наклонная плоскость

\(\alpha=30^\circ\), \(\mu_k=0{,}2\), \(g=9{,}8\):

\[ a=9{,}8(0{,}5-0{,}2\cdot0{,}866) \approx3{,}2\ \text{м/с}^2. \]

Пример 3. Атвуд

\(m_1=2\) кг, \(m_2=3\) кг, \(g=10\):

\[ a=10\frac{1}{5}=2\ \text{м/с}^2. \]
\[ T=m_1(g+a)=2\cdot12=24\ \text{Н}. \]

Блок с инерцией и трением

В разгоняющемся грузовике груз не скользит, если трение покоя способно дать ускорение:

\[ ma\le\mu_smg, \]
\[ a\le\mu_sg. \]

Ошибки

  • Всегда писать \(F_{\text{тр}}=\mu N\) для покоя.
  • Направлять трение против скорости без анализа контакта.
  • Считать ускорения связанных тел одинаковыми при подвижном блоке без геометрического анализа.
  • Путать \(\mu_s\) и \(\mu_k\).

Самопроверка

  1. Что определяет максимальное трение покоя?
  2. При каком условии брусок не скользит по наклонной плоскости?
  3. Почему в машине Атвуда натяжение меньше веса тяжёлого груза?
Ответы 1. \(\mu_sN\). 2. \(\tan\alpha\le\mu_s\). 3. Часть веса тяжёлого груза создаёт ускорение системы.