Шпаргалки / Математика / Школа / Матанализ / Интегральное исчисление

Частные первообразные

1. Определение

Если дана функция $f(x, y)$, то частной первообразной по переменной $x$ называется такая функция $F(x, y)$, что

\frac{\partial F}{\partial x} = f(x, y)

Аналогично, частной первообразной по $y$ называется функция $F(x, y)$, удовлетворяющая

\frac{\partial F}{\partial y} = f(x, y)

Иными словами, частная первообразная — это результат интегрирования функции по одной из переменных, при этом остальные переменные считаются постоянными.

2. Правило нахождения частной первообразной

Чтобы найти $F(x, y)$ по $f(x, y)$:

Интегрируйте $f(x, y)$ по выбранной переменной.
При этом все остальные переменные рассматриваются как константы.
Добавьте функцию от других переменных (аналог «постоянной интегрирования»), так как при частном интегрировании она может зависеть от них.

Например:

F(x, y) = \int f(x, y) \, dx + C(y)

или

F(x, y) = \int f(x, y) \, dy + C(x)

3. Примеры

Пример 1. Простая функция

\[ f(x, y) = 2xy \]

Интегрируем по $x$:

F(x, y) = \int 2xy \, dx = x^2y + C(y)

Проверим:

\frac{\partial F}{\partial x} = 2xy = f(x, y)

Пример 2. Зависимость «постоянной» от другой переменной

f(x, y) = 3x^2 + \sin y

Интегрируем по $x$:

F(x, y) = \int (3x^2 + \sin y)\, dx = x^3 + x\sin y + C(y)

Проверим:

\frac{\partial F}{\partial x} = 3x^2 + \sin y = f(x, y)

Пример 3. Интегрирование по другой переменной

\[ f(x, y) = x^2y + e^y \]

Интегрируем по $y$:

F(x, y) = \int (x^2y + e^y)\, dy = \frac{x^2y^2}{2} + e^y + C(x)

Проверим:

\frac{\partial F}{\partial y} = x^2y + e^y = f(x, y)

4. Замечание о «постоянной интегрирования»

При обычном интегрировании по одной переменной добавляется константа $C$.

При частном интегрировании вместо константы используется функция от остальных переменных, например $C(y)$ или $C(x, z)$, потому что при дифференцировании по $x$ эти функции исчезают, как обычные константы.

5. Связь с полным дифференциалом и потенциальными полями

Если заданы функции $P(x, y)$ и $Q(x, y)$, и они являются частными производными некоторой функции $F(x, y)$:

\frac{\partial F}{\partial x} = P(x, y), \quad \frac{\partial F}{\partial y} = Q(x, y)

то $F$ называется потенциальной функцией, а $(P, Q)$ — потенциальным векторным полем.

6. Условие существования общей первообразной (потенциала)

Для того чтобы существовала функция $F(x, y)$, удовлетворяющая

\frac{\partial F}{\partial x} = P(x, y), \quad \frac{\partial F}{\partial y} = Q(x, y)

должно выполняться условие равенства смешанных производных:

\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}

Если это условие выполняется в некоторой области, то существует функция $F(x, y)$ такая, что:

\nabla F = (P, Q)

7. Пример проверки потенциальности

Пусть

P(x, y) = 2xy, \quad Q(x, y) = x^2 + 1

Проверим условие:

\frac{\partial P}{\partial y} = 2x, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x

Так как $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$, поле потенциальное.

Находим $F(x, y)$:

F(x, y) = \int P(x, y) \, dx = \int 2xy \, dx = x^2y + C(y)

Теперь найдём $C(y)$ из второго уравнения:

\frac{\partial F}{\partial y} = x^2 + C'(y) = Q(x, y) = x^2 + 1

Следовательно, $C’(y) = 1 \Rightarrow C(y) = y + \text{const}$

Итак,

F(x, y) = x^2y + y + \text{const}

8. Геометрический смысл

Частная первообразная по переменной $x$ показывает, как накапливается значение функции при изменении $x$, если другие переменные остаются фиксированными.

Геометрически частное интегрирование по $x$ можно рассматривать как площадь под сечением поверхности $z = f(x, y)$ вдоль направления $x$, при фиксированном $y$.

9. Физический смысл

В физике частные первообразные часто интерпретируются как потенциалы полей.
Если задано векторное поле скоростей, сил или градиентов, и оно потенциальное, то существует скалярная функция (частная первообразная по координатам), градиент которой даёт исходное поле.

Например:

\vec{F} = -\nabla U

где $U(x, y, z)$ — потенциальная энергия, являющаяся частной первообразной (интегралом) от поля сил $\vec{F}$.

10. Частные первообразные для функций многих переменных

Если $f(x_1, x_2, …, x_n)$ — функция $n$ переменных,
то частная первообразная по переменной $x_k$ определяется как

\frac{\partial F}{\partial x_k} = f(x_1, ..., x_n)

и находится по формуле

F(x_1, ..., x_n) = \int f(x_1, ..., x_n)\, dx_k + C(x_1, ..., \widehat{x_k}, ..., x_n)

где знак «шляпка» означает, что переменная $x_k$ не входит в $C$ (она постоянна при интегрировании).

11. Итог

Частная первообразная — это интегрирование по одной переменной при фиксированных остальных.
Константа интегрирования становится функцией от других переменных.
Совокупность частных первообразных может задавать потенциальную функцию.
Условие $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ гарантирует существование такой функции.
В физике это соответствует потенциалу поля, в геометрии — площади под сечением поверхности.