Шпаргалки / Физика / Электродинамика

10. Переменный ток и RLC-цепи

Переменный ток и RLC-цепи

Уровень: первый курс

Гармонический ток

\[ u(t)=U_0\cos\omega t, \]
\[ i(t)=I_0\cos(\omega t-\varphi). \]

\(U_0\), \(I_0\) — амплитуды, \(\varphi\) — сдвиг фаз.

Действующие значения

Для синусоиды:

\[ U_{\text{д}}=\frac{U_0}{\sqrt2}, \]
\[ I_{\text{д}}=\frac{I_0}{\sqrt2}. \]

Именно действующее напряжение обычно указывают в бытовой сети.

Резистор

Ток и напряжение в фазе:

\[ Z_R=R. \]

Средняя мощность:

\[ P=U_{\text{д}}I_{\text{д}}=I_{\text{д}}^2R. \]

Конденсатор

\[ i=C\frac{du}{dt}. \]

Ток опережает напряжение на \(\pi/2\).

Реактивное сопротивление:

\[ X_C=\frac1{\omega C}. \]

При высокой частоте конденсатор проводит лучше.

Катушка

\[ u=L\frac{di}{dt}. \]

Напряжение опережает ток на \(\pi/2\).

\[ X_L=\omega L. \]

При высокой частоте катушка препятствует току сильнее.

Последовательная RLC-цепь

Комплексное сопротивление:

\[ Z=R+i\left(\omega L-\frac1{\omega C}\right). \]

Модуль:

\[ |Z|=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}. \]
\[ I_{\text{д}}=\frac{U_{\text{д}}}{|Z|}. \]

Сдвиг фаз:

\[ \tan\varphi=\frac{X_L-X_C}{R}. \]

Резонанс напряжений

\[ X_L=X_C. \]
\[ \omega_0=\frac1{\sqrt{LC}}. \]

Тогда

\[ Z=R, \]

и ток максимален.

Напряжения на \(L\) и \(C\) могут значительно превышать напряжение источника, но противоположны по фазе.

Мощность

Средняя активная мощность:

\[ P=U_{\text{д}}I_{\text{д}}\cos\varphi. \]

\(\cos\varphi\) — коэффициент мощности.

Реактивные элементы в идеале не потребляют среднюю энергию, а обмениваются ею с источником.

Добротность

Для последовательного контура:

\[ Q=\frac{\omega_0L}{R} =\frac1{\omega_0CR}. \]

Большая добротность означает узкий резонанс и малые потери.

Переходные процессы

RC-заряд

\[ u_C(t)=\mathcal E(1-e^{-t/RC}). \]
\[ i(t)=\frac{\mathcal E}{R}e^{-t/RC}. \]

Постоянная времени:

\[ \tau=RC. \]

RL-нарастание

\[ i(t)=\frac{\mathcal E}{R}(1-e^{-tR/L}). \]
\[ \tau=\frac LR. \]

Пример 1. Конденсатор

\(f=50\) Гц, \(C=100\) мкФ:

\[ X_C=\frac1{2\pi fC} \approx31{,}8\ \text{Ом}. \]

Пример 2. Резонанс

\(L=0{,}1\) Гн, \(C=10\) мкФ:

\[ \omega_0=\frac1{\sqrt{10^{-6}}}=1000\ \text{рад/с}. \]
\[ f_0=\frac{1000}{2\pi}\approx159\ \text{Гц}. \]

Пример 3. RC

\(R=10\) кОм, \(C=100\) мкФ:

\[ \tau=RC=1\ \text{с}. \]

Через одну \(\tau\) напряжение достигает

\[ 1-e^{-1}\approx63{,}2\% \]

конечного значения.

Ошибки

  • Подставлять амплитуду вместо действующего значения в мощность без коэффициентов.
  • Складывать \(R\), \(X_L\), \(X_C\) арифметически без фаз.
  • Считать, что идеальный конденсатор рассеивает активную мощность.
  • Считать резонанс всегда безопасным.

Самопроверка

  1. Как ведёт себя \(X_C\) с ростом частоты?
  2. Условие резонанса последовательной RLC-цепи?
  3. Что означает постоянная времени RC?
Ответы 1. Уменьшается. 2. \(\omega L=1/(\omega C)\). 3. Характерное время экспоненциального заряда или разряда.