Шпаргалки / Физика / Механика

16. Качение без проскальзывания

Качение без проскальзывания

Уровень: база → первый курс

Что такое чистое качение

Тело одновременно:

  • движется поступательно центром масс;
  • вращается вокруг центра масс.

При качении без проскальзывания точка контакта мгновенно покоится относительно поверхности.

Условие

\[ v_C=\omega R. \]

Для ускорений вдоль прямой:

\[ a_C=\varepsilon R. \]

Скорости точек колеса

Скорость точки равна сумме:

\[ \vec v=\vec v_C+\vec\omega\times\vec r'. \]

Для колеса, катящегося вправо:

  • центр: \(v_C\);
  • нижняя точка: \(0\);
  • верхняя точка: \(2v_C\).

Это мгновенные значения относительно земли.

Энергия качения

\[ E_k=\frac{mv_C^2}{2}+\frac{I_C\omega^2}{2}. \]

Используя \(\omega=v_C/R\):

\[ E_k=\frac{v_C^2}{2}\left(m+\frac{I_C}{R^2}\right). \]

Спуск с наклонной плоскости

Сохранение энергии с высоты \(h\):

\[ mgh=\frac{mv^2}{2}+\frac{I_Cv^2}{2R^2}. \]
\[ v=\sqrt{\frac{2gh}{1+I_C/(mR^2)}}. \]

Чем больше относительный момент инерции, тем меньше скорость.

Ускорение на наклонной плоскости

\[ a=\frac{g\sin\alpha}{1+I_C/(mR^2)}. \]

Для сплошного цилиндра \(I_C=mR^2/2\):

\[ a=\frac{2}{3}g\sin\alpha. \]

Для кольца \(I_C=mR^2\):

\[ a=\frac12g\sin\alpha. \]

Сплошной цилиндр обгоняет кольцо одинаковых масс и радиусов.

Роль трения

При чистом качении по неподвижной поверхности трение покоя может не совершать работы, потому что точка контакта мгновенно неподвижна.

Но трение необходимо, чтобы создать момент и обеспечить условие качения.

Пример 1. Скорость цилиндра

Сплошной цилиндр скатывается с высоты \(h\):

\[ mgh=\frac{mv^2}{2}+\frac{1}{2}\frac{mR^2}{2}\frac{v^2}{R^2}. \]
\[ mgh=\frac34mv^2. \]
\[ v=\sqrt{\frac{4gh}{3}}. \]

Пример 2. Кто быстрее

Для шара \(I=2mR^2/5\):

\[ a_{\text{шар}}=\frac{5}{7}g\sin\alpha. \]

Для цилиндра:

\[ a_{\text{цил}}=\frac23g\sin\alpha. \]
\[ \frac57>\frac23, \]

поэтому шар ускоряется сильнее.

Проскальзывание

Если требуемое трение превышает максимум:

\[ |F_{\text{тр}}|>\mu_sN, \]

начинается проскальзывание, и условие \(v_C=\omega R\) больше не обязано выполняться.

Ошибки

  • Считать нижнюю точку постоянно неподвижной: неподвижна мгновенно другая материальная точка колеса.
  • Забывать вращательную энергию.
  • Считать трение скольжения обязательным при качении.
  • Использовать \(v=\omega R\) при проскальзывании.

Самопроверка

  1. Скорость верхней точки колеса при чистом качении?
  2. Почему кольцо скатывается медленнее сплошного диска?
  3. Совершает ли трение покоя работу в идеальном качении по неподвижной поверхности?
Ответы 1. \(2v_C\). 2. Большая доля энергии уходит во вращение из-за большего \(I/(mR^2)\). 3. Обычно нет, точка контакта мгновенно покоится.