Четырехугольники

1. Общие свойства

• Сумма внутренних углов:

• Диагонали:
  • Пересекаются и делят четырёхугольник на 4 треугольника.
  • В выпуклом четырёхугольнике пересекаются внутри фигуры.
• Периметр:

---

2. Классификация четырёхугольников

2.1. Параллелограмм

• Определение: Противоположные стороны попарно параллельны.
• Свойства:
  • Противоположные стороны равны: $AB = CD$, $BC = AD$.
  • Противоположные углы равны: $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$.
  • Диагонали делятся пополам: $AO = OC$, $BO = OD$.
  • Формула площади:

• Теорема о диагоналях:

2.2. Прямоугольник

• Свойства:
  • Все углы прямые: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.
  • Диагонали равны: $AC = BD$.
  • Радиус описанной окружности:

2.3. Ромб

• Свойства:
  • Все стороны равны: $AB = BC = CD = DA$.
  • Диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$.
  • Диагонали делят углы пополам.
  • Формула площади:

• Радиус вписанной окружности:

2.4. Квадрат

• Свойства:
  • Сочетает свойства прямоугольника и ромба.
  • Диагонали равны, перпендикулярны и делятся пополам.
  • Формула диагонали:

2.5. Трапеция

• Определение: Одна пара параллельных сторон (основания $AB \parallel CD$).
• Свойства:
  • Средняя линия:

• Площадь:

• Равнобокая трапеция:
  • Боковые стороны равны: $AD = BC$.
  • Диагонали равны: $AC = BD$.
  • Углы при основаниях равны.

2.6. Дельтоид (воздушный змей)

• Свойства:
  • Две пары смежных равных сторон: $AB = AD$, $BC = CD$.
  • Диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$.
  • Одна диагональ делится пополам: $BO = OD$.

---

3. Вписанные и описанные четырёхугольники

3.1. Вписанный четырёхугольник

• Условие: Сумма противоположных углов равна $180^\circ$.
• Теорема Птолемея:

• Формула площади (Брахмагупта):

3.2. Описанный четырёхугольник

• Условие: Суммы противоположных сторон равны:

• Радиус вписанной окружности:

---

4. Свойства диагоналей

| Тип четырёхугольника | Свойства диагоналей | |———————–|———————| | Параллелограмм | Делятся пополам | | Прямоугольник | Равны, делятся пополам | | Ромб | Перпендикулярны, делят углы | | Квадрат | Равны, перпендикулярны, делятся пополам | | Трапеция | В равнобокой — равны; пересекаются в отношении $\frac{AB}{CD}$ |

---

5. Дополнительные теоремы

• Теорема Ньютона (для описанных четырёхугольников):
  Центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной прямой.
• Теорема Эйлера:
  Для выпуклого четырёхугольника:

где $MN$ — отрезок между серединами диагоналей.

---

6. Полезные формулы

• Площадь произвольного четырёхугольника:

где $\theta$ — угол между диагоналями.

• Угол между диагоналями:

Формулы площадей (дополнено)

| Фигура | Формула площади | |——–|—————–| | Произвольный четырёхугольник | $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \theta$ | | Вписанный четырёхугольник | $S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} \quad (p = \frac{a+b+c+d}{2})$ | | Описанный четырёхугольник | $S = p \cdot r \quad (p = \frac{a+b+c+d}{2})$ | | Трапеция | $S = \frac{(AB + CD)}{2} \cdot h$ | | Параллелограмм | $S = AB \cdot h = AB \cdot BC \cdot \sin \alpha$ | | Ромб | $S = \frac{AC \cdot BD}{2} = AB^2 \cdot \sin \alpha$ | | Прямоугольник | $S = AB \cdot BC$ | | Квадрат | $S = AB^2 = \frac{AC^2}{2}$ |

Расшифровка символов (добавлено)

| Символ | Описание | |——–|———-| | $a, b, c, d$ | длины сторон четырёхугольника | | $AB, BC, CD, DA$ | стороны четырёхугольника | | $AC, BD$ | диагонали | | $h$ | высота (для трапеции/параллелограмма) | | $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ | углы при вершинах | | $\theta$ | угол между диагоналями | | $p$ | полупериметр: $p = \frac{a+b+c+d}{2}$ | | $R$ | радиус описанной окружности | | $r$ | радиус вписанной окружности | | $S$ | площадь | | $m$ | средняя линия трапеции: $m = \frac{AB + CD}{2}$ |