Четырехугольники
1. Общие свойства
- Сумма внутренних углов:
\[
\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ
\]
- Диагонали:
- Пересекаются и делят четырёхугольник на 4 треугольника.
- В выпуклом четырёхугольнике пересекаются внутри фигуры.
- Периметр:
\[
P = AB + BC + CD + DA
\]
2. Классификация четырёхугольников
2.1. Параллелограмм
- Определение: Противоположные стороны попарно параллельны.
- Свойства:
- Противоположные стороны равны: \(AB = CD\), \(BC = AD\).
- Противоположные углы равны: \(\angle A = \angle C\), \(\angle B = \angle D\).
- Диагонали делятся пополам: \(AO = OC\), \(BO = OD\).
- Формула площади:
\[
S = AB \cdot h \quad \text{или} \quad S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \theta
\]
- Теорема о диагоналях:
\[
AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)
\]
2.2. Прямоугольник
- Свойства:
- Все углы прямые: \(\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ\).
- Диагонали равны: \(AC = BD\).
- Радиус описанной окружности:
\[
R = \frac{1}{2} \sqrt{AB^2 + BC^2}
\]
2.3. Ромб
- Свойства:
- Все стороны равны: \(AB = BC = CD = DA\).
- Диагонали перпендикулярны: \(AC \perp BD\).
- Диагонали делят углы пополам.
- Формула площади:
\[
S = \frac{AC \cdot BD}{2} \quad \text{или} \quad S = AB^2 \cdot \sin \alpha
\]
- Радиус вписанной окружности:
\[
r = \frac{AC \cdot BD}{2 \cdot AB}
\]
2.4. Квадрат
- Свойства:
- Сочетает свойства прямоугольника и ромба.
- Диагонали равны, перпендикулярны и делятся пополам.
- Формула диагонали:
\[
AC = BD = AB \cdot \sqrt{2}
\]
2.5. Трапеция
- Определение: Одна пара параллельных сторон (основания \(AB \parallel CD\)).
- Свойства:
- Средняя линия:
\[
m = \frac{AB + CD}{2}
\]
- Площадь:
\[
S = \frac{(AB + CD)}{2} \cdot h
\]
- Равнобокая трапеция:
- Боковые стороны равны: \(AD = BC\).
- Диагонали равны: \(AC = BD\).
- Углы при основаниях равны.
2.6. Дельтоид (воздушный змей)
- Свойства:
- Две пары смежных равных сторон: \(AB = AD\), \(BC = CD\).
- Диагонали перпендикулярны: \(AC \perp BD\).
- Одна диагональ делится пополам: \(BO = OD\).
3. Вписанные и описанные четырёхугольники
3.1. Вписанный четырёхугольник
- Условие: Сумма противоположных углов равна \(180^\circ\).
- Теорема Птолемея:
\[
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
\]
- Формула площади (Брахмагупта):
\[
S = \sqrt{(p - a)(p - b)(p - c)(p - d)}, \quad p = \frac{a + b + c + d}{2}
\]
3.2. Описанный четырёхугольник
- Условие: Суммы противоположных сторон равны:
\[
AB + CD = BC + AD
\]
- Радиус вписанной окружности:
\[
r = \frac{S}{p}, \quad p = \frac{AB + BC + CD + DA}{2}
\]
4. Свойства диагоналей
| Тип четырёхугольника | Свойства диагоналей |
|---|---|
| Параллелограмм | Делятся пополам |
| Прямоугольник | Равны, делятся пополам |
| Ромб | Перпендикулярны, делят углы |
| Квадрат | Равны, перпендикулярны, делятся пополам |
| Трапеция | В равнобокой — равны; пересекаются в отношении \(\frac{AB}{CD}\) |
5. Дополнительные теоремы
- Теорема Ньютона (для описанных четырёхугольников):
Центры вписанной и описанной окружностей лежат на одной прямой. - Теорема Эйлера:
Для выпуклого четырёхугольника:
\[
AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2 + 4MN^2,
\]
где \(MN\) — отрезок между серединами диагоналей.
6. Полезные формулы
- Площадь произвольного четырёхугольника:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \theta,
\]
где \(\theta\) — угол между диагоналями.
- Угол между диагоналями:
\[
\theta = \arccos\left(\frac{AB^2 + CD^2 - BC^2 - AD^2}{2 \cdot AC \cdot BD}\right)
\]
Формулы площадей (дополнено)
| Фигура | Формула площади |
|---|---|
| Произвольный четырёхугольник | \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin \theta\) |
| Вписанный четырёхугольник | \(S = \sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} \quad (p = \frac{a+b+c+d}{2})\) |
| Описанный четырёхугольник | \(S = p \cdot r \quad (p = \frac{a+b+c+d}{2})\) |
| Трапеция | \(S = \frac{(AB + CD)}{2} \cdot h\) |
| Параллелограмм | \(S = AB \cdot h = AB \cdot BC \cdot \sin \alpha\) |
| Ромб | \(S = \frac{AC \cdot BD}{2} = AB^2 \cdot \sin \alpha\) |
| Прямоугольник | \(S = AB \cdot BC\) |
| Квадрат | \(S = AB^2 = \frac{AC^2}{2}\) |
Расшифровка символов (добавлено)
| Символ | Описание |
|---|---|
| \(a, b, c, d\) | длины сторон четырёхугольника |
| \(AB, BC, CD, DA\) | стороны четырёхугольника |
| \(AC, BD\) | диагонали |
| \(h\) | высота (для трапеции/параллелограмма) |
| \(\alpha, \beta, \gamma, \delta\) | углы при вершинах |
| \(\theta\) | угол между диагоналями |
| \(p\) | полупериметр: \(p = \frac{a+b+c+d}{2}\) |
| \(R\) | радиус описанной окружности |
| \(r\) | радиус вписанной окружности |
| \(S\) | площадь |
| \(m\) | средняя линия трапеции: \(m = \frac{AB + CD}{2}\) |